مسألة اليوم

تطبيقات القيم القصوى

يحيط سياج ارتفاعه  بمبنى، ويبعد عنه مسافة 1 m كما في الشكل المجاور. أجد طول أقصر سُلم قد يصل من الأرض إلى المبنى، ويمر فوق السياج ملامساً له.

ليكن Ɵ قياس الزاوية بين السلم والأرض، L طول السلم، كما في الشكل:

$\begin{array}{rl}sin\theta =& \frac{3\sqrt{3}}{L_1},cos\theta =\frac{1}{L_2},0<\theta <\frac{\pi }{2}\\ L=L_1+L_2=\frac{3\sqrt{3}}{sin\theta }+\frac{1}{cos\theta }& \\ \frac{dL}{d\theta }=\frac{-3\sqrt{3}cos\theta }{si{n}^2\theta }+\frac{sin\theta }{co{s}^2\theta }& \\ \frac{dL}{d\theta }=0& \to 3\sqrt{3}co{s}^3\theta =si{n}^3\theta \\ & \to tan\theta =3\sqrt{3}={\sqrt{3}}^3\\ & \to tan\theta =\sqrt{3}\\ & \to \theta =\frac{\pi }{3}\end{array}$

$\theta =\frac{\pi }{3}$ قيمة حرجة وحيدة، نستخدم اختبار المشتقة الأولى وندرس إشارة $\frac{dL}{d\theta }$ :

للاقتران L قيمة صغرى محلية عندما $\mathit{\theta }=\frac{\pi }{3}$

إذن أقل طول ممكن للسلم هو:

$L\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{sin\frac{\pi }{3}}+\frac{1}{cos\frac{\pi }{3}}=6+2=8m$